Ableitungen 2

Aufgabe

Berechne die 1. Ableitung von f(x)= (x3)4

Tim sagt: „Ableiten kann ich super, ich schreibe einfach den Exponenten als Faktor vor das x und danach verringere ich den Exponenten um 1.“

Als Ergebnis schreibt er folgende Rechnung hin: f‘(x)= 4(x3)3

Kannst du Tim helfen, die Aufgabe richtig zu lösen?

  1. Bei dieser Aufgabe können wir die Produktregel verwenden.
  2. Bei dieser Aufgabe können wir die Kettenregel anwenden.
  3. Es gilt: f(x)=r(s(x))⇒f´(x)=r´(s(x))⋅s´(x)f(x)=r(s(x))⇒f´(x)=r´(s(x))⋅s´(x).
  4. Es gilt: f(x)=r(x)⋅s(x)⇒f´(x)=r´(x)⋅s´(x)f(x)=r(x)⋅s(x)⇒f´(x)=r´(x)⋅s´(x).
  5. Die äußere Ableitung ist r’(s(x))=4(x3)3 und die innere Ableitung ist s´(x)=3x2
  6. Wir können das Ergebnis mit den Potenzregeln berechnen: f(x)=(x3)4=x3⋅4=x12.
  7. Das Ergebnis ist f´(x)=4(x3)3⋅3x2.
  8. Das Ergebnis ist f´(x)=4x3⋅3x.
  9. Das Ergebnis ist f´(x)=12x11.

Richtig sind die Antwortmöglichkeiten 2, 3, 5 6, 7 und 9.

Bei der Funktion f aus der Aufgabenstellung handelt es sich um eine Verkettung zweier Funktionen (→ 3).

Deshalb ist eine Möglichkeit beim Ableiten die Kettenregel anzuwenden (→ 2). Es gilt: f‘(x)=3x24(x3)3=3x24x9=12x11 (→ 5, 7, 9).

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Funktion zunächst mithilfe der Potenzgesetze zu vereinfachen: f(x)=x12 (→6), um diese anschließend mit der Potenzregel abzuleiten.

Das Ergebnis lautet dann: f‘(x)=12x12-1=12x11 (→ 9).