Stetigkeit

Aufgabe

Dein Mitstudent Tom hat beim Nachweis der Stetigkeit an einer Stelle a folgenden Satz geschrieben: “Um die Stetigkeit an dieser Stelle nachzuweisen, muss ich eine Folge (xn) finden, die den Grenzwert f(a) liefert. Dann ist die Funktion stetig”. Dies ist kein korrektes Vorgehen. Wähle aus den angegebenen Antworten diejenigen aus, die korrekt begründen, warum Toms Vorgehen falsch ist.

  1. Die Folge xn die wir wählen muss gegen a konvergieren.
  2. Es muss für jede beliebige Folge xn, die gegen a konvergiert, gelten, dass lim⁡n→∞f(xn)=a.
  3. Es muss für jede beliebige Folge xn, die gegen a konvergiert, gelten, dass lim⁡n→∞f(xn)=f(a).
  4. Wir wählen verschiedene Folgen xn, nämlich alle die gegen a konvergieren und überprüfen die Grenzwerte der zugehörigen Funktionswerte.
  5. Eine Funktion ist stetig, wenn der Grenzwert der Folge f(xn) nicht mit f(a) übereinstimmt.
  6. Eine Funktion ist stetig, wenn der Grenzwert der Folge f(xn) mit f(a) übereinstimmt.

Richtig sind die Antwortmöglichkeiten 1, 3, 4 und 6.